ARLA/CLUSTER: Princípio da Sobreposição

Roland Gonçalves Gomes Roland.Goncalves oni.pt
Quarta-Feira, 10 de Janeiro de 2007 - 17:23:39 WET 

 
Princípio da Sobreposição 

 

Quando duas ou mais ondas se propagam, simultaneamente, num mesmo meio, diz-se que há uma sobreposição de ondas. 

Como exemplo, considere duas ondas propagando-se conforme indicam as figuras: 

Supondo que atinjam o ponto P no mesmo instante, elas causarão nesse ponto uma perturbação que é igual à soma das perturbações que cada onda causaria se o tivesse atingido individualmente, ou seja, a onda resultante é igual à soma algébrica das ondas que cada uma produziria individualmente no ponto P, no instante considerado.  
  

 <http://ww2.unime.it/weblab/awardarchivio/ondulatoria/images/404-1.jpg> 

 

Após a sobreposição, as ondas continuam a se propagar com as mesmas características que tinham antes. 

Os efeitos são subtraídos (soma algébrica), podendo-se anular no caso de duas propagações com deslocamento invertido. 

  

 <http://ww2.unime.it/weblab/awardarchivio/ondulatoria/images/404-2.jpg> 

  

Em resumo:   

*	  Quando ocorre o encontro de duas cristas, ambas levantam o meio naquele ponto; por isso ele sobe muito mais. 
	 
	

*	   Quando dois vales se encontram eles tendem a baixar o meio naquele ponto. 
	 
	

*	   Quando ocorre o encontro entre um vale e uma crista, um deles quer puxar o ponto para baixo e o outro quer puxá-lo para cima. Se a amplitude das duas ondas for a mesma, não ocorrerá deslocamento, pois eles se cancelam (amplitude zero) e o meio não sobe e nem desce naquele ponto.  
	
	
	

 <http://ww2.unime.it/weblab/awardarchivio/ondulatoria/images/404-3.gif>  <http://ww2.unime.it/weblab/awardarchivio/ondulatoria/images/404-4.gif> 

  









 

 

 

   


 

 

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Ondas Estacionárias 




São ondas resultantes da sobreposição de duas ondas de mesma frequência, mesma amplitude, mesmo comprimento de onda, mesma direcção e sentidos opostos. 

Pode-se obter uma onda estacionária através de uma corda fixa numa das extremidades. 

Com uma fonte faz-se a outra extremidade vibrar com movimentos verticais periódicos, produzindo-se perturbações regulares que se propagam pela corda. 

  

 <http://ww2.unime.it/weblab/awardarchivio/ondulatoria/images/405.jpg> 

  

Em que: N = nós ou nodos e V= ventres. 

Ao atingirem a extremidade fica, elas se reflectem, retornando com sentido de deslocamento contrário ao anterior. 

Dessa forma, as perturbações se sobrepõem às outras que estão chegando à parede, originando o fenómeno das ondas estacionárias. 

Uma onda estacionária se caracteriza pela amplitude variável de ponto para ponto, isto é, há pontos da corda que não se movimentam (amplitude nula), chamados nós (ou nodos), e pontos que vibram com amplitude máxima, chamados ventres. 

É evidente que, entre nós, os pontos da corda vibram com a mesma frequência, mas com amplitudes diferentes. 

  

Observe que: 

*	  Como os nós estão em repouso, não pode haver passagem de energia por eles, não havendo, então, em uma corda estacionária o transporte  <http://ww2.unime.it/weblab/awardarchivio/ondulatoria/images/eq11.gif> de energia.
	

*	  A distância entre dois nós consecutivos vale  <http://ww2.unime.it/weblab/awardarchivio/ondulatoria/images/eq11.gif> .    

*	  A distância entre dois ventres consecutivos vale  <http://ww2.unime.it/weblab/awardarchivio/ondulatoria/images/eq11.gif> .   

*	  A distância entre um nó e um ventre consecutivo vale  <http://ww2.unime.it/weblab/awardarchivio/ondulatoria/images/eq12.gif> . 




APLICAÇÃO 

4-    Uma onda estacionária de frequência 8 Hz se estabelece numa linha fixada entre dois pontos distantes 60 cm. Incluindo os extremos, contam-se 7 nodos. Calcule a velocidade da onda progressiva que deu origem à onda estacionária. 

   
Resolução: 

  <http://ww2.unime.it/weblab/awardarchivio/ondulatoria/images/406.jpg> 

 <http://ww2.unime.it/weblab/awardarchivio/ondulatoria/images/eq13.gif>  

Leis da Reflexão   

 

Quando ondas esféricas provenientes de uma fonte A encontram um obstáculo plano, produz-se reflexão de ondas porque cada ponto do obstáculo torna-se fonte de uma onda secundária. 

As ondas reflectidas se comportam como se emanassem de uma fonte A’, simétrica de A em relação ao obstáculo reflector. 

  

 <http://ww2.unime.it/weblab/awardarchivio/ondulatoria/images/408-1.jpg> 

  

Por uma questão de facilidade, vamos estudar as leis da reflexão de uma onda recta. 

A figura representa a reflexão de ondas rectas por um obstáculo plano. 

  

 <http://ww2.unime.it/weblab/awardarchivio/ondulatoria/images/408-2.jpg> 

  

Temos: 

AI = raio de onda incidente
IB = raio de onda reflectido
NI = normal ao ponto de incidência
i = ângulo de incidência
r = ângulo de reflexão 

    

Leis da Reflexão   

1a. lei: o raio incidente, o raio reflectido e a normal são coplanares. 

2a. lei: o ângulo de incidência é igual ao ângulo de reflexão. 

  

Propriedades   

1a. propriedade: na reflexão, a frequência, a velocidade e o comprimento de onda não variam. 

2a. propriedade: na reflexão, a fase pode variar ou não. 

        


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Leis da Refracção




Considere, por exemplo, um tanque contendo água com duas regiões de propagação distintas, uma mais rasa, 1, e outra mais profunda, 2. 

  

 <http://ww2.unime.it/weblab/awardarchivio/ondulatoria/images/408-3.jpg> 

  

Suponha que uma onda recta esteja se propagando no meio 1 e incidindo na superfície S de separação entre os meios 1 e 2. 

Seja AI o raio incidente da onda que se propaga no meio 1 com velocidade v1. Incidindo na superfície S ela sofre refracção e passa a se propagar no meio 2 com velocidade v2. 

Sendo: 

AI = raio de onda incidente
IB = raio de onda refractado
NI = normal  
i =  ângulo de incidência  
r = ângulo de refracção 

  

 <http://ww2.unime.it/weblab/awardarchivio/ondulatoria/images/409-1.jpg> 

    

Leis da Refração 

1a. lei: os raios de onda incidente e refractado e a normal são coplanares 

2a. lei: lei de Snell- Descartes: 

  

 <http://ww2.unime.it/weblab/awardarchivio/ondulatoria/images/eq14.gif> 

Temos: n1 e n2 são índices de refracção absolutos de um meio  <http://ww2.unime.it/weblab/awardarchivio/ondulatoria/images/eq15.gif> . 

Aplicando a lei de Snell, temos: 


      <http://ww2.unime.it/weblab/awardarchivio/ondulatoria/images/eq16.gif> 

  

Propriedades: 

1a. propriedade: na refracção, a frequência e a fase não variam. 

2a. propriedade: a velocidade de propagação e o comprimento de onda variam na mesma proporção. 


  

APLICAÇÃO 

5-   A figura mostra a separação entre duas regiões, de profundidades diferentes, num tanque de ondas. Uma onda plana, gerada na região de maior profundidade, 1, incide sobre a separação, em direcção à região de menor profundidade, 2. Sabendo que λ1 = 0,2 m e v1 = 4 m/s, calcule:   

a) a frequência da onda incidente 

b)  a velocidade de propagação da onda refractada 

  

Resolução: 


 <http://ww2.unime.it/weblab/awardarchivio/ondulatoria/images/eq17.gif>  

 

 

 

O que é onda ?

 

Quando eu coloco uma fila de dominós, por exemplo, e derrubo o primeiro, eu posso dizer que causei uma perturbação somente no primeiro dominó. Mas você sabe que todos os outros irão cair em seguida. Este é o famoso "efeito dominó". Podemos ver neste caso o que é uma perturbação se propagando de um lugar para o outro. A perturbação causada no primeiro dominó chegou até o último, derrubando-o, apesar de cada dominó não ter saído da sua posição inicial. Note também que somente a energia aplicada ao primeiro dominó chegou até a última peça. A perturbação transportou somente energia portanto.

O que acontece na onda é mais ou menos isso. Uma perturbação é causada, por alguém ou por alguma fonte, e esta perturbação propaga-se de um ponto para o outro na forma de pulsos. Veja alguns exemplos:

*	  Uma pessoa movimenta a extremidade de uma corda, e a perturbação propaga-se até a outra extremidade;

*	   Um terramoto no fundo do mar causa uma perturbação nas águas do oceano, e esta perturbação propaga-se até encontrar algum continente, causando ondas gigantes conhecidas como Tsunamis. Estas ondas causam muita destruição quando chegam às praias;

*	  Um alto falante causa uma perturbação nas moléculas de ar, e esta perturbação propaga-se até nossos ouvidos permitindo que possamos ouvir o som gerado pelo mesmo;

Como já vimos, chamamos de pulso uma perturbação que se propaga, e damos o nome de onda a uma sequência de pulsos periódicos.

 

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Ondas mecânicas e electromagnéticas

 

Ondas mecânicas são aquelas que precisam de um meio material para poderem se propagar. A perturbação causada no dominó somente se moveu por causa dos dominós, sem eles ela nem existiria. Como exemplo temos as ondas no oceano, o som etc. Todas são perturbações causadas em meios materiais. Já as ondas electromagnéticas não precisam de meios materiais para irem de um lugar para o outro. A perturbação é causada em campos electromagnéticos e se propaga através deles. A luz é um bom exemplo deste tipo de onda. Note que a luz do Sol chega até nós mesmo existindo vácuo no espaço. Outros exemplos de ondas electromagnéticas são as microondas, as ondas de rádio etc.

 

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Tipos de ondas

 

Basicamente existem dois tipos de ondas, as ondas transversais e as longitudinais.Vamos ver as diferenças que existem entre elas.

 

Ondas Transversais

Esta onda tem a forma que vemos na figura abaixo. Será que você consegue imaginar uma situação onde ela ocorra ?

 <http://ww2.unime.it/weblab/awardarchivio/ondulatoria/images/ondatransv.gif> 	

Uma onda no mar ou uma corda balançando possuem esta aparência. A característica principal deste tipo de onda é a seguinte:

 

"A onda está propagando-se da esquerda para a direita, na horizontal, mas qualquer ponto da corda move-se para cima e para baixo, na vertical (repare no movimento de subida e descida da pontinha da corda). Como a direcção de propagação da onda é perpendicular, ou seja, forma um ângulo de 90º com a direcção de oscilação de qualquer ponto sobre a corda, dizemos que ela é transversal"

 

Vamos analisar um exemplo para que possamos entender melhor as ondas transversais.

Imagine uma praia com ondas. É fácil perceber que uma onda possui certa velocidade, e que ela inicia seu movimento no oceano vindo quebrar na praia. É claro portanto que elas podem mover-se de um lugar para o outro. Se você estiver dentro da água, e uma onda passar por você antes dela "estourar", que movimento seu corpo irá realizar? Pense bem antes de responder.

Isso mesmo, seu corpo irá subir e depois descer. Se a onda ainda não estourou você não conseguirá acompanhá-la, a direcção do seu movimento é diferente da direcção do movimento dela. Ela vai para frente enquanto você sobe e desce. Ondas que fazem isso são conhecidas como ondas transversais.

 

Ondas longitudinais

Este tipo de onda move-se na mesma direcção de oscilação dos corpos que estejam em seu caminho. Veja a animação abaixo.

 <http://ww2.unime.it/weblab/awardarchivio/ondulatoria/images/ondalong.gif> 

Note que o pistão gera uma onda que se propaga da esquerda para a direita, e que qualquer molécula de ar que esteja no caminho também irá se mover no sentido horizontal. Aqui a direcção de propagação da onda coincide com a direcção de oscilação dos corpos que estiverem no caminho dela. Este tipo de onda é conhecida como onda longitudinal. O som propaga-se desta maneira.

 

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Características das ondas
  
(Amplitude, velocidade, comprimento de onda, período e frequência)

 

Se você souber trabalhar com estes quatro parâmetros de uma onda, poderá resolver grande parte dos problemas, exercício e testes que envolvem este assunto. Então, mãos à obra.

 

Amplitude

Imagine um barquinho no oceano, e imagine que uma onda passe por ele (uma onda que ainda não "estourou", logicamente). Obviamente o barquinho irá subir e descer. Pois bem, a amplitude da onda que passou pelo barquinho é dada pelo quanto ele subiu ou desceu. Se por exemplo o barquinho subiu 5 cm, dizemos que a amplitude da onda que passou por ele é de 5 cm. Veja o desenho.

 <http://ww2.unime.it/weblab/awardarchivio/ondulatoria/images/ampl.gif> 		Note que no primeiro exemplo a amplitude da onda que faz com que o barquinho suba e desça é maior que a amplitude da onda mostrada no segundo exemplo. 

O ponto mais alto da onda chama-se crista, e o ponto mais baixo denomina-se vale. Ao lado você pode ver um barquinho na crista da onda e o outro no vale.

		
 <http://ww2.unime.it/weblab/awardarchivio/ondulatoria/images/ampl1.gif> 		

 

Velocidade

meio material	 velocidade (m/s2)	
ar (0ºC ; 1 atm)	 331	
hidrogénio (idem)	 1284	
água (20ºC)	 1482	
granito	 6000	
alumínio	 6420	
	Este conceito não é difícil de entender.  Toda onda possui uma velocidade de propagação. Geralmente a velocidade da onda depende muito do meio material onde ela está se movendo. A tabela ao lado permite que você possa comparar, por exemplo, a velocidade do som em diferentes meios. 

Analisando a tabela responda rápido à seguinte pergunta: Viajando em qual meio material o som chega antes aos seus ouvidos? Ãgua ou ar?

Para calcularmos estas velocidade médias basta usarmos o que já sabemos de cinemática. Precisamos somente dividir a distância percorrida pelo pulso da onda pelo tempo.

 

Comprimento de onda (l ) 

 <http://ww2.unime.it/weblab/awardarchivio/ondulatoria/images/lambda1.gif> 	O comprimento de onda, representado pela letra l  (lambda), mede a distância entre duas cristas consecutivas da mesma onda, ou então a distância entre dois vales consecutivos da mesma onda.  

Além destas duas maneiras existe mais uma que você pode utilizar para determinar qual é o comprimento de onda de uma onda. Tente descobrir observando o desenho acima.

 

Período (T)

O período de uma onda é o tempo que se demora para que uma onda seja criada, ou seja, para que um comprimento de onda, ou um l, seja criado. O período é representado pela letra T.

 

Frequência (f)

A frequência representa quantas oscilações completas* uma onda dá a cada segundo. 

* Uma oscilação completa representa a passagem de um comprimento de onda - l  .

Se por exemplo, dois comprimentos de onda passarem pelo mesmo ponto em um segundo, dizemos que a onda oscilou duas vezes em um segundo, representando que a frequência dela é de 2 Hz.

Obs: Hertz (Hz) significa ciclos por segundo.

 <http://ww2.unime.it/weblab/awardarchivio/ondulatoria/images/eq_pf.gif> 

A relação entre frequência e período, que é muito importante no estudo das ondas, é dada pela expressão ao lado.

 

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Equação fundamental da ondulatória

 

 <http://ww2.unime.it/weblab/awardarchivio/ondulatoria/images/eqonda.gif> 

Esta equação é importante pois relaciona três características de uma onda, a velocidade, a frequência e o comprimento de onda. Ela é sempre muito usada em problemas de ondulatória, e merece ser memorizada.

Mas lembre-se, cuidado com as unidades. É aconselhável o uso do Sistema Internacional, onde a velocidade é dada em m/s, o comprimento de onda em  metros e a frequência em Hertz. O período neste caso ficaria em segundos.

 
CT2JHU
 
 

Cordiais Cumprimentos

 

Roland Gomes

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