ARLA/CLUSTER: Antenas, Reflectores, Filtros, etc.

[Roland Gonçalves Gomes]

Boa tarde estimados colegas 
 
Como não poderia deixar de ser, volto a partilhar com os meus amigos mais alguma informação que julgo ser de alguma pertinência, na expectativa de que a literatura abaixo traga resultados de mais valias ao conhecimento e á prática.
 
Peço desculpa pelo envio das imagens ilegíveis, enviei de novo com as correcções
 
 
 
 
O primeiro tipo de antena com reflector foi a Antena monopolo.

Os reflectores numa antena tem diversas funções. As principais são a adequação do sistema irradiante e receptor às melhores condições de ganho e diretividade do sinal irradiado e recebido.

Os sistemas de reflexão podem ser de diversos tipos, desde os semi-segmentos em forma de hastes utilizadas em antenas plano-terra, hastes sintonizadas de antenas Yagi-Uda, refletores planos em antenas helicoidais, refletores parabólicos utilizados em radiotelescopia, comunicações por satélites artificiais, radares, entre muitas outras aplicações.


Variação da impedância de uma antena tendo o solo como refletor


A alteração de impedância e o diagrama resultante da distância de uma antena ao solo são conhecidos há muito tempo, por isso é tão largamente utilizada esta propriedade em radiocomunicações.

Sempre poderemos controlar a forma e a distância do refletor à antena forçando desta maneira seu comportamento, isto é, se arbitrarmos um determinado diagrama, poderemos fazer nossa antena trabalhar dentro dos limites impostos pelo projeto.


Relação frente/costas antenas direcionais


Um dos parâmetros que imediatamente percebemos, é a relação frente/costas no caso de antenas direcionais, pois à medida que esta relação aumenta, conseqüentemente aumentará a diretividade da antena, e, seu ganho.

Com o passar do tempo e das experiências feitas com refletores, chegou-se à conclusão que estes praticamente se igualam em forma e dimensões aos dipolos ou monopolos dos quais fazem parte, configurando um sistema irradiante/receptor de qualidade excepcional.


Dimensionamento refletor físico/antena


 Na figura temos de cima para baixo: No topo a representação esquemática de um dipolo e seu refletor.Logo abaixo temos um gráfico que representa a variação do ganho em função da distância estre os elementos.Na base temos a variação da impedância da antena em função da distância entre elementos<file:///C:/TEMP/msohtml1/01/clip_image001.jpg> 

<http://pt.wikipedia.org/wiki/Imagem:Refletoresetabelas.JPG> 

Na figura temos de cima para baixo: No topo a representação esquemática de um dipolo e seu refletor.Logo abaixo temos um gráfico que representa a variação do ganho em função da distância estre os elementos.Na base temos a variação da impedância da antena em função da distância entre elementos

Quando observamos uma antena cilíndrica, notaremos que seu refletor também o será, a única diferença é o comprimento deste ligeiramente maior, entre cinco a dez por cento (Sistema Yagi-Uda) em relação ao dipolo.

No caso dos refletores planos sua superfície não precisa ser necessariamente infinita, basta que seja ressonante, isto é, uma superfície refletora contínua cuja malha não ultrapasse a 10% do comprimento de onda aplicado.

Uma vez feito este procedimento haverá uma alteração na impedância e largura de faixa do sistema resultante. O dipolo, não mais será um dipolo isolado, passará a se comportar como uma rede com todas as características dadas pela disposição dos elementos interferentes.

No gráfico ao lado estão sendo mostrados dois parâmetros importantes para uso do projetista de antenas.

No topo da figura está representada uma antena de dois elementos, sendo o menor (a linha horizontal de cima) o elemento "ativo", ou seja, o dipolo que irradia a radiofreqüência ou recebe-a.

Logo embaixo representando o elemento refletor há outra linha horizontal, um pouco mais longa qua a correspondente superior. Este comprimento varia entre cinco a dez por cento.

*	É importante ressaltar que o comportamento de uma antena se dá em "dupla via", ou seja, as leis que servem para a transmissão, são as mesmas que servem para a recepção. 

*	No ítem acima existem algumas restrições relativas à potência de irradiação, porém no caso deste artigo não são relevantes. 

Logo embaixo da representação esquemática da antena e seu refletor temos um gráfico que mostra a variação do ganho do sistema irradiante (Antena e seu refletor concomitantes) em função da distância dipolo/refletor.

Ao variarmos a distância do dipolo em relação ao refletor, haverá uma variação também no sistema de impedâncias, esta variação está representada no gráfico imediatamente embaixo.

Portanto, quando se projeta uma antena com refletor, usando os parâmetros pré determinados representados nos gráficos ao lado, existe grande probabilidade de inserir o sistema irradiante dentro de valores ótimos de trabalho.


Interação refletor/antena


 Este gráfico demonstra a variação da impedância de antenas quando próximas à terra ou próximas de refletores planos ou não, que possam ser enxergados pelas antenas como um terra virtual<file:///C:/TEMP/msohtml1/01/clip_image002.jpg> 

<http://pt.wikipedia.org/wiki/Imagem:GraficoImpedanciaAntenasAlturaTerra.JPG> 

Este gráfico demonstra a variação da impedância de antenas quando próximas à terra ou próximas de reflectores planos ou não, que possam ser enxergados pelas antenas como um terra virtual

Caso uma antena esteja situada à uma distância considerada “S” da superfície ressonante, teremos um sistema com uma componente real e outra virtual, isto é, uma rede com seu diplomo e sua imagem à uma distância 2S. Simplificadamente podemos afirmar que a antena e seu reflector funcionam como se fossem duas antenas interagindo.


Antena real/antena imagem


Se o diplomo for de meia onda e estiver na polarização horizontal, temos uma rede com os elementos 1 e 2, real e virtual respectivamente. O ganho do sistema pode ser considerado como no plano f, ou G( f ), onde a antena real passa a ser elemento 1, e a virtual ou imagem elemento 2.


Imagem na superfície plana


Funcionando um diplomo sobre uma superfície plana, ou seja, a antena em frente a um reflector, haverá um incremento no campo na ordem de 2,3 vezes em relação ao diplomo sem reflector, ou, algo em torno de 7 dB, é claro que na prática este ganho vai ser menor, entre 5 a 6 dB em direcção à frente de onda.


Variação de impedâncias em função da distância


A variação de impedância R11 e R12 para dois dispomos de meia onda no espaço livre estando um em frente ao outro em função da distância S é conhecida é finita podendo ser prevista em gráficos e ábacos.

Estas conclusões também podem ser utilizadas para um diplomo sobre o solo cujas variações de impedância variam de acordo com a altura em comprimentos de onda. (Gráfico acima à esquerda)


Dipolos sobre superfície reflectora


Imaginemos diversas antenas dispostas paralelamente sobre uma superfície perfeitamente reflectora.

Obedecendo as afirmações anteriores teremos uma situação que leva-o à percepção da existência do dobro de dipolos devido às imagens da rede. Isto quer dizer que para cada antena, haverá uma imagem (Uma antena reflectora) respectivamente, desta forma, existe a distribuição de energia numa só direcção, logo teremos um ganho imenso, pois a cada vez que se dobra a estrutura metálica de uma rede teremos um incremento no ganho do sistema acrescido em 3 dB.


Utilização de dois reflectores desfasados em noventa graus


Seguindo o raciocínio mostrado anteriormente, se usarmos dois reflectores dispostos em 90 graus entre si, e estando a rede à uma distância dentro dos parâmetros funcionais do sistema, teremos a multiplicação dos diagramas resultantes, ou seja, ao dobrar o plano reflector em dois semi planos muito grandes em relação aos dipolos dobraremos a imagem, logo o ganho aumentará substancialmente.

Este efeito pode ser utilizado em frequências muito altas (SHF), na construção de antenas impressas.

*	As antenas impressas são dipolos construídos em circuitos impressos. 

Dependendo da altura do dipolo à terra seu comportamento poderá variar de forma substancial.

 


Efeito Terra


Quando se monta uma antena tanto na polarização horizontal, quanto na vertical, o efeito terra pode ser analisado como um reflector perfeito desde que dentro das faixas de frequência admissíveis, quer dizer, frequências baixa, média e alta. Ao instalar antenas próximas à terra ou a uma superfície que influencie a antena como se fosse um plano de terra (No caso de satélites artificiais, o corpo do objecto é o plano de terra), temos que levar em conta a influência desta ao elemento irradiante.

A princípio devemos ter certas condições controladas para poder analisar o efeito terra. Uma delas é distância da antena à terra que pode ser considerada como se fosse a um reflector plano de condutividade perfeita, outra, que nosso objecto de estudo inicial deve ser a interacção entre um dipolo elementar em polarização horizontal ou vertical e seu plano de terra respectivo.


Efeito imagem e efeito real


Arbitrando-se o plano de terra como condutor perfeito, as componentes tangencial e normal são anuladas entre si. Desta forma, as cargas e correntes induzidas passam a fazer parte do sistema, pois teremos o efeito imagem e o efeito real

Tanto para o dipolo horizontal, quanto para o dipolo vertical, existe o dipolo imagem. Este actua de forma que seu efeito, juntamente ao efeito terra alterem o diagrama de irradiação, impedância, ganho, dentre outros parâmetros da antena. Ou seja, como se fosse um reflector, daí para efectuar a análise podemos usar o sistema de estudo dos efeitos causados pela proximidade de duas antenas.


Efeito proximidade, interacções e acoplamento mútuo


Quando temos uma antena próxima a qualquer estrutura, seja terra, seja metálica, "n" dipolos, outra antena, ou antenas, forma-se o que podemos chamar de rede. A rede interage simultaneamente em todos os seus elementos, reais e virtuais.

A interacção do sistema deve obedecer a certos aspectos físicos de proximidade entre seus elementos em comprimentos de onda. Obedecidas características arbitradas pelo projectista de antenas, o sistema resultante terá um acoplamento concomitante, isto é, haverão somatórias de todas as características de todos os elementos interferentes. O nome dado a este sistema é acoplamento mútuo.


Acoplamento mútuo


O efeito do acoplamento mútuo, tanto para antena em polarização horizontal, quanto em polarização vertical, têm em sua imagem a indução de cargas e correntes. Suas impedâncias, seus lóbulos, e ganhos se inteiram, formando um sistema complexo, pois, o campo electromagnético irradiado pode ser estudado pelo sistema de imagens.


Antenas real e imaginária


Sempre quando tivermos uma antena numa determinada distância de um elemento terra teremos que analisar duas, a antena real e a sua imagem.

As correntes induzidas no dipolo real terão seu equivalente no dipolo imagem, desta forma podemos deixar um dipolo vertical muito próximo ao solo reforçando o campo irradiado e o campo recebido.

No caso do dipolo horizontal, devemos observar que a impedância resultante do sistema será muito próxima de zero ohm, colocando o sinal em curto-circuito com a terra, anulando a antena (inteiração destrutiva). No caso do monopolo em polarização vertical, seu funcionamento quando no solo será similar ao dipolo vertical no espaço livre, pois sua imagem complementará o segmento real.


Ângulo de partida/chegada, ionosfera


 Esta tabela é uma guia prática dos efeitos que ocorrem nas alteraçõs dos ângulos de partida ou chegada do sinal de radiofreqüência em relação à terra e à Ionosfera. As freqüencias variam dentro da MUF. A distância de chegada na coluna direita é dada em quilômetros<file:///C:/TEMP/msohtml1/01/clip_image003.jpg> 

<http://pt.wikipedia.org/wiki/Imagem:TabelareflexaoAAL.JPG> 

Esta tabela é uma guia prática dos efeitos que ocorrem nas alterações dos ângulos de partida ou chegada do sinal de radiofrequência em relação à terra e à Ionosfera. As frequências variam dentro da MUF. A distância de chegada na coluna direita é dada em quilómetros

Quando variamos a distância de um dipolo ao solo, ou a um reflector ressonante que a antena enxergue como "solo", variará o ângulo de partida/chegada de sinal, para ou da ionosfera, o alcance, a impedância, entre outros parâmetros.

Conhecendo-se o ângulo de irradiação, e a altura da camada da ionosfera onde reflecte o sinal, teremos condições de calcular o alcance de nossa transmissão.

A altura das camadas ionosféricas são dinâmicas e não estáticas, isto é, se alteram de acordo com a hora, com o Sol, propagação, época do ano, manchas solares, vento solar , condições de atmosfera, entre outras variáveis.


Quando temos um dipolo de meia onda, dependendo da sua altura em comprimento de onda do elemento terra, o efeito deste sobre aquele é de substancial importância. Além de alterar o ângulo de partida da antena, também teremos um efeito sobre a impedância no sistema irradiante, cabe aqui uma observação da aplicação do termo sistema de transmissão.


As interações nos sistemas de transmissão/recepção na presença da "terra"


O sistema de transmissão é um termo utilizado devido ao fato de que uma antena passa a se comportar de forma sistémica, isto é, começa a haver um efeito de interação entre antena, elemento terra, e demais interferentes do meio que passam a ser enxergados pela antena também como elementos terra. Por este fato o elemento terra pode ser considerado como um reflector perfeito de dimensão infinita, formando uma imagem da antena tal qual a imagem formada por um objecto qualquer num espelho com todas as implicações conveniências e inconveniências causadas por este.

Na presença da terra temos o incremento do efeito imagem, isto é, a terra e antena passam a ter uma interação e desta surge uma componente reactiva, resultando uma variação na sintonia (ressonância), impedância e ganho das antenas.

A cada quarto de onda acima do plano terra temos uma impedância próxima de 73 ohms.

Em função do disposto acima podemos ter uma relação nos diversos parâmetros no sistema de acordo com a altura da antena ao solo (Descrito no início do artigo), devido ao efeito da terra sobre esta, os principais, são o ganho que pode ser até 6 dBd (decibéis sobre o dipolo no espaço livre) e impedância (podendo ser em média em torno de 73.5 ohms a cada quarto de onda) , além do ângulo de partida.

 

*	A Impedância é a relação entre o valor eficaz da diferença de potencial entre os terminais em consideração, e o valor eficaz da corrente resultante num circuito. É a combinação da resistência R e a reatância X , sendo dada em ohms, e designada pelo símbolo Z. Indica a oposição total que um circuito oferece ao fluxo de corrente alternada, ou qualquer outra corrente variável numa dada frequência. 

·         O Ganho é uma característica apresentada por um dispositivo amplificador ou atenuador, que consiste em modificar a amplitude de um sinal aplicado à sua entrada. Quando trata-se de sinal sonoro, geralmente expressa-se em decibéis (db).

Sendo  V_{in}\,<file:///C:/TEMP/msohtml1/01/clip_image004.gif> a tensão de entrada e  V_{out}\,<file:///C:/TEMP/msohtml1/01/clip_image005.gif> , a tensão de saída, define-se o ganho de tensão,  A_v\,<file:///C:/TEMP/msohtml1/01/clip_image006.gif> , como  A_v=\frac {V_{out}}{V_{in}}\,<file:///C:/TEMP/msohtml1/01/clip_image007.gif> . Trata-se duma unidade a dimensional.

·         Amplitude é uma medida escalar não negativa da magnitude de oscilação uma onda. No diagrama a seguir:


 Imagem:Onda.png<file:///C:/TEMP/msohtml1/01/clip_image008.gif> 


A distância Y, é a amplitude da onda, também conhecida como "pico de amplitude" para distinguir de outro conceito de amplitude, usado especialmente em engenharia elétrica: root mean square amplitude (ou amplitude rms), definida como a raiz quadrada da média temporal da distância vertical entre o gráfico e o eixo horizontal. O uso de "pico de amplitude" não é ambíguo para ondas simétricas e periódicas como senóides, onda quadrada e onda triangular. Para ondas sem simetria, como por exemplo pulsos periódicos em uma direção, o termo "pico de amplitude" torna-se ambíguo pois o valor obtido é diferente dependendo se o máximo valor positivo é medido em relação à média, se o máximo valor negativo é medido em relação à média ou se o máximo sinal positivo é medido em relação ao máximo sinal negativo e dividido por dois. Para ondas complexas, especialmente sinais sem repetição tais como ruído, a amplitude rms é usada frequentemente porque não tem essa ambiguidade e também porque tem um sentido físico. Por exemplo, a potência transmitida por uma onda acústica ou electromagnética ou por um sinal eléctrico é proporcional à raiz quadrada da amplitude rms (e em geral, não tem essa relação com a raiz do pico de amplitude)

A seguinte equação será adotada para formalizar amplitude:

 y = A \cdot \sin(t - K) + b<file:///C:/TEMP/msohtml1/01/clip_image009.gif> 

A é a amplitude da onda.

Amplitude de uma onda é a medida da magnitude da máxima perturbação do meio durante um ciclo da onda. A unidade utilizada para a medida depende do tipo da onda. Por exemplo, a amplitude de ondas de som e sinais de áudio costumam ser expressas em decibéis (dB).

A amplitude de uma onda pode ser constante ou variar com o tempo. Variações de amplitude são a base para modulações AM

O decibel (dB) é uma medida da razão entre duas quantidades, sendo usado para uma grande variedade de medições em acústica, física e eletrônica. O decibel é muito usado na medida da intensidade de sons. É uma unidade de medida a dimensional semelhante a percentagem. A definição do dB é obtida com o uso do logaritmo.

Definição

Uma intensidade I ou potência P pode ser expressa em decibéis através da equação

 I_\mathrm{dB} = 10 \log_{10} \left(\frac{I}{I_0} \right) \quad \mathrm{or} \quad P_\mathrm{dB} = 10 \log_{10} \left(\frac{P}{P_0} \right)\ ,<file:///C:/TEMP/msohtml1/01/clip_image010.gif> 

onde I0 e P0 são as intensidades e potências de referência.

Se PdB é 3 dB então P é o dobro de P0.

Se PdB é 10 dB então P é 10 vezes maior que P0.

Se PdB é -10 dB então P é 10 vezes menor que P0.

Se PdB é 20 dB então P é 100 vezes maior que P0.

Se PdB é -20 dB então P é 100 vezes menor que P0.


Em engenharia, tensão elétrica V ou pressão p podem ser expressas em decibéis através da equação

 V_\mathrm{dB} = 20 \log_{10} \left (\frac{V}{V_0} \right ) \quad \mathrm{or} \quad p_\mathrm{dB} = 20 \log_{10} \left (\frac{p}{p_0} \right )\ ,<file:///C:/TEMP/msohtml1/01/clip_image011.gif> 

onde V0 e p0 é a tensão elétrica e pressão de referência. Note que, é incorreto utilizar essas medidas se as impedâncias elétricas ou acústicas não são as mesmas nos pontos onde a tensão ou pressão é comparada. Usando essa abordagem o decibel é uma medida de intensidade ou potência relativa.

Se VdB é 6 dB então V é o dobro que V0.

Se VdB é 20 dB então V é 10 vezes maior que V0.

Se VdB é -20 dB então V é 10 vezes menor que V0.

Se VdB é 40 dB então V é 100 vezes maior que V0.

Se VdB é -40 dB então V é 100 vezes menor que V0.


XXX O bel é uma unidade do sistema SI? XXX

Embora o Comitê Internacional de Pesos e Medidas (BIPM) aceite a sua utilização com o sistema SI, ele não é uma unidade do SI. Apesar disso, seguem-se as convenções do SI, e a letra d é grafada em minúscula por corresponder ao prefixo deci- do SI, e B é grafado em maiúsculo pois é uma abreviatura (e não abreviação) da unidade bel que é derivada de nome Alexander Graham Bell. Como o bel é uma medida muito grande para uso diário, o decibel (dB), que corresponde a um décimo de bel (B), acabou se tornando a medida de uso mais comum. O plural não é DECIBÉIS, e sim, DECIBELS.


Vantagens


As vantagens do uso do decibel são:

*	É mais conveniente somar os valores em decibels em estágios sucessivos de um sistema do que multiplicar os seus fatores de multiplicação. 
*	Faixas muito grandes de razões de valores podem ser expressas em decibels em uma faixa bastante moderada, possibilitando uma melhor visualização dos valores grandes. 
*	Na acústica o decibel usado como uma escala logarítmica da razão de intensidade sonora, se ajusta melhor a intensidade percebida pelo ouvido humano, pois o aumento do nível de intensidade em decibels corresponde aproximadamente ao aumento percebido em qualquer intensidade, fato conhecido com a Lei de potências de Stevens'. Por exemplo, um humano percebe um aumento de 90 dB para 95 dB como sendo o mesmo que um aumento de 20 dB para 25 dB. 

Ver exemplo em *Sound files to show the size of a decibel.


Outras escalas logarítmicas


O neper é uma unidade similar que usa o logaritmo natural. A escala Richter também usa números expressos em bels. Na espectrometria e na óptica as unidades de absorbância são equivalentes a −1 B. Na astronomia a magnitude aparente que mede o brilho das estrelas também é uma unidade logarítmica, uma vez que da mesma forma que o ouvido responde de modo logarítmico a potência acústica, o olho também responde de modo logarítmico a intensidade luminosa.


História e uso do bel e decibel


O bel (símbolo B) é uma unidade de medida de razões. Ele é principalmente usado nas telecomunicações, eletrônica, e acústica. Foi inventado por engenheiros do Bell Labs para quantificar a redução no nível acústico sobre um  cabo telefônico padrão com 1 milha de comprimento.   Originalmente era chamado de unidade de transmissão ou TU, mas foi renomeado entre 1923 e 1924 em homenagem ao fundador do laboratório Alexander Graham Bell.

 


Largura de banda


Largura de banda é a medida da faixa de freqüência, em hertz, de um sistema ou sinal. A largura de banda é um conceito central em diversos campos de conhecimento, incluindo teoria da informação, rádio comunicação, processamento de sinais, eletrônica e espectroscopia. Em radio comunicação ela corresponde a faixa de freqüência ocupada pelo sinal modulado. Em eletrônica normalmente corresponde a faixa de freqüência na qual um sistema tem uma resposta em frequencia aproximadamente plana (com variação inferior a 3dB).

A largura de banda também pode se referir a taxa de dados em uma comunicação digital sobre um certo meio. De acordo com o teorema de Shannon-Hartley a taxa de bits confiável em um sistema de comunicações é diretamente proporcional à faixa de freqüência usada pelo sinal na comunicação.

 


Sistemas analógicos


 <file:///C:/TEMP/msohtml1/01/clip_image013.jpg> 

<http://pt.wikipedia.org/wiki/Imagem:Bandwidth_blue.png> 

Para sinais analógicos a largura de banda é a largura medida em hertz, da faixa de freqüência para o qual a Transformada de Fourier do sinal é diferente de zero. Esta definição normalmente é relaxada considerando um certo limiar de amplitude, tipicamente de 3dB. Para sistemas se aplica basicamente os conceitos acima, aplicados a função de transferência do sistema.


Como exemplo, a largura de banda de 3dB da função mostrada na figura ao lado é de f2 − f1. Definições diferentes de largura de banda levariam a respostas diferentes.


Frequência central


 


 O eixo da freqüência está em escala logaritmica<file:///C:/TEMP/msohtml1/01/clip_image015.jpg> 

O eixo da freqüência está em escala logaritmica

A freqüência central f0 ou freqüência de ressonância é a média geométrica entre a freqüência de corte inferior lower fi e a freqüência de corte superior fs da banda de passagem ou rejeição de um sistema:

 f_0 = \sqrt{f_s \cdot f_i}<file:///C:/TEMP/msohtml1/01/clip_image016.gif> 

A diferença entre fs e fi em um filtro passa-faixa é denominado de largura de banda:

B = (fs − fi) 


Quando a largura de banda é muito pequena (10 vezes menor) em comparação com a freqüência central é possível usar a média aritmética para o cálculo aproximado da freqüência central.

 f_0 \approx (f_s + f_i)/2<file:///C:/TEMP/msohtml1/01/clip_image017.gif> 

Para verificar esta propriedade da média geométrica em relação a média aritmética utilize o link externo abaixo com valores de frequencia de corte de 1495,5 kHz e 1504,5 kHz (típicos de aplicações de transmissão rádio), 300 Hz e 3300 Hz (aplicações de telefonia), 20Hz e 20.000 Hz (aplicações de áudio). No primeiro caso a aproximação é muito próxima ao valor exato, no entanto nos dois últimos casos a freqüência central é muito diferente da média aritmética, ou seja, nestes caso a equação aproximada não 

 


Filtro Eletronico


Em eletrônica um filtro eletronico pode ser:

*	Um circuito de dois acessos chamado de quadripolo, podendo ser linear ou não linear, concentrado ou distribuído, passivo ou ativo, invariante ou variante no tempo, capaz de processar sinais elétricos analógicos ou digitais. 
*	Qualquer quadripolo linear, concentrado e invariante no tempo, capaz de produzir uma resposta especificada para uma dada excitação. 
*	Mecanismos ou dispositivos que atuam como filtro de áudio ou instrumentos que transmitem e absorvem sons seletivamente, são denominados filtros acústicos. 
*	Determinados dispositivos ópticos que absorvem, em geral seletivamente, radiação luminosa. 
*	Dispositivos que além de componentes passivos, contém uma ou mais fontes de tensão ou corrente dependentes. 
*	Filtro Butterworth: Filtro que tem função de transferência com característica plana em baixas freqüências, queda acentuada a partir da freqüência de corte, caindo a zero na freqüência infinita. 
*	Filtro de Cauer ou filtro elíptico: Filtro que apresenta uma característica de amplitude equiondulante, tanto na faixa de passagem quanto na faixa de rejeição. 
*	Filtro Chebyshev: Filtro que apresenta uma característica de amplitude equiondulante na faixa de passagem. 
*	Filtro de absorção: Filtro que tem elementos dissipativos de calor que absorvem os componentes indesejáveis de volta para a entrada. 
*	Filtro de linha: Filtro elétrico ou eletrônico cuja finalidade é suprimir ruídos e surtos de tensão da rede. 
*	Filtro de reflexão: Filtro que, na configuração ideal, não tem elementos dissipativos, refletindo os sinais indesejáveis de volta para a entrada. 
*	Filtro LC: Filtro elétrico passivo formado por combinação de indutores e capacitores. 
*	Filtro passa-altas: Filtro elétrico ou eletrônico que permite a passagem de sinais de altas freqüências, bloqueando sinais abaixo da freqüência de corte do filtro. 
*	Filtro passa-baixas: Filtro elétrico ou eletrônico que permite a passagem de sinais de baixas freqüências, atenuando sinais acima da freqüência de corte do filtro. 
*	Filtro passa-faixa: Filtro elétrico ou eletrônico que só permite a passagem de sinais de freqüências compreendidas dentro de uma certa faixa de freqüência. 
*	Filtro passivo: Filtro elétrico que contém apenas componentes passivos, como resistores, capacitores, indutores e transformadores. 
*	Filtro RC: Filtro elétrico formado por combinação de resistores e capacitores. 
*	Filtro rejeita-faixa: Filtro elétrico ou eletrônico que rejeita sinais numa dada faixa de freqüências e permite a passagem de todos os demais. 

 


Filtros eletronicos


A largura de banda de um filtro passa-faixa é a parte da resposta em freqüência do filtro que está situada na faixa de 3dB da resposta na freqüência central (valor de pico). Ou seja, ela é a diferença entre f2 e f1 em um filtro passa-faixa:

B = f2 − f1 

Em um filtro passa-baixas a largura de banda corresponde ao valor da freqüência de corte:

B = fc 


Redes de computadores


A Largura de banda é a quantidade de informação que pode ser transferida de um nó para outro em um determinado período.

Capacidade de transmissão de dados de uma ligação à Internet. Um modem comum terá 56kbps (= 7KB/s) de largura de banda, uma ligação ADSL terá 512kbps (=64KB/s). A título de exemplo, se um servidor web tiver 100KB/s de largura de banda, 10 visitas nesse segundo poderão ter uma velocidade de download do site de 10KB/s, mas 100 visitas nesse mesmo tempo só poderão ter 1KB/s.

 


Frequência de corte


 Resposta em frequência de um filtro passa-baixas tipo Butterworth com indicação da frequência de corte. <file:///C:/TEMP/msohtml1/01/clip_image019.jpg> 

<http://pt.wikipedia.org/wiki/Imagem:Butterworth_response.png> 

Resposta em frequência de um filtro passa-baixas tipo Butterworth com indicação da frequência de corte.

A freqüência de corte (fc) ou freqüência meia potência é a freqüência abaixo da qual ou acima da qual a potência na saída de um sistema (circuito eletrônico, linha de transmissão, amplificador ou filtro eletrônico) é reduzida a metade da potência da faixa de passagem. Em termos de tensão (ou amplitude) isto corresponde a redução em 70,7% do valor da faixa de passagem. Como em decibeis, essa redução corresponde a uma atenuação de -3dB, a freqüência de corte também é conhecida como freqüência de -3dB.

Os filtros do tipo passa-altas (FPA) e passa-baixas (FPB) têm apenas uma freqüência de corte.

Nos filtros passa-faixa (FPF) e rejeita-faixa (FRF) existem duas freqüências de corte. Neste caso, a média geométrica das freqüências de corte (inferior e superior) é a freqüência central (f0) do filtro, na qual o ganho é máximo (FPF)ou mínimo (FRF).

 

Filtro passa-baixo 

É o nome comum dado a um circuito eletrónico que permite a passagem de baixas frequências sem dificuldades e atenua (ou reduz) a amplitude das frequências maiores que a frequência de corte. A quantidade de atenuação para cada frequência varia de filtro para filtro.

O conceito de filtro passa-baixas existe de muitas formas diferentes, incluindo os circuitos eletrônicos, algoritmos digitais para trabalhar com conjuntos de dados, barreiras acústicas, trabalhos com imagens, entre outros.

Exemplos de filtros passa-baixa

 Um filtro eletrônico passa baixas utilizando um circuito RC<file:///C:/TEMP/msohtml1/01/clip_image021.jpg> 

Um filtro eletrônico passa baixas utilizando um circuito RC

Uma barreira sólida atua como um filtro passa-baixas para as ondas do som. Quando se está em um quarto e a música passa através de uma parede, as notas mais baixas (graves) são ouvidas com mais facilidade do que as notas mais altas (agudas), que são largamente filtradas. Similarmente, uma música muito alta ouvida em um carro é ouvida apenas como alguns ruídos pelos ocupantes dos outros veículos, pois os veículos fechados (e a barreira de ar) atuam como um filtro passa-baixas muito seletivo. atenuando os tons mais agudos.

Os filtros passa-baixas eletrônicos são utilizados para controlar subwoofers e outros tipos de alto-falantes, para bloquear os picos mais agudos que não seriam transmitidos eficientemente.

Os transmissores de rádio utilizam filtros passa-baixas para filtrar as emissões harmônicas que podem causar interferência com outras comunicações.

O DSL splitters utilizam filtros passa-baixas e passa-altas para separar os sinais de DSL e o POTS compartilhando o mesmo par de fios.

Os filtros passa-baixa também possuem um papel importante no trabalho dos sons em música eletrônica quando esta é criada por sintetizadores analógicos, como o TB-303, criado pela Roland corporation.

 


Filtros reais e ideais


Um filtro passa-baixas ideal elimina completamente todas as frequências acima da frequência de corte, enquanto permite que as frequências abaixo desta faixa passem inalteradas. A região de transição nos filtros práticos não existe. Um filtro passa baixas ideal pode ser obtido matematicamente (teoricamente) multiplicando o sinal pela função retangular no domínio da frequência ou fazendo a convolução com uma função de sincronização no domínio do tempo.

Entretanto, este filtro não existe para sinais reais, pois a função de sincronização destes estende-se ao infinito. O filtro teria que prever o futuro e ter conhecimento infinito do passado para realizar a convolução. Isto é efetivamente realizado para sinais digitais pré-gravados, ou perfeitamente cíclicos, que se repetem infinitamente.

Os filtros reais para as aplicações em tempo real aproximam-se do filtro ideal por atrasarem o sinal por um período de tempo, permitindo uma pequena "visão" do futuro. Isto é manifestado como a mudança de fase. Uma maior precisão na aproximação requer um atraso maior.

O teorema de amostras de Nyquist-Shannon descreve como utilizar um filto passa-baixas perfeito e a fórmula de interpolação de Nyquist-Shannon mostra como reconstruir um sinal contínuo de uma amostra de um sinal digital. Os conversores digital-analógico utilizam aproximações com os filtros reais.


Os filtros passa-baixas eletrônicos


 A resposta em frequência de um filtro de primeira ordem<file:///C:/TEMP/msohtml1/01/clip_image023.jpg> 

<http://pt.wikipedia.org/wiki/Imagem:Butterworth_response.png> 

A resposta em frequência de um filtro de primeira ordem

Existem muitos tipos diferentes de circuitos de filtros, com diferentes respostas à mudança de frequência. A resposta em frequência de um filtro é geralmente representada utilizando um gráfico.

*	Um filtro de primeira ordem, por exemplo, irá atenuar a amplitude do sinal pela metade (cerca de −6 dB) cada vez que a frequência dobrar (subir uma oitava). O gráfico de magnitude de um filtro de primeira ordem se assemelha a uma linha horizontal antes da frequência de corte, e um linha diagonal após a mesma. Existe também o "cotovelo" no limite entre os dois, que é a transição suave entre as duas regiões de reta. Veja Circuito RC. 

*	Um filtro de segunda ordem possui uma maior atenuação às frequências mais altas. O gráfico deste tipo de filtro é semelhante ao gráfico do filtro de primeira ordem, com a diferença de que a variação na queda da amplitude com o aumento da frequência é mais acentuada. Por exemplo, um filtro Butterworth de segunda ordem reduzirá a amplitude do sinal a um quarto de seu valor anterior cada vez que a frequência dobrar (−12 dB por oitava). Outros filtros de segunda ordem podem apresentar taxas diferentes dependendo de seu fator Q, porém se aproximam da taxa final de −12dB por oitava. Veja Circuito RLC. 

*	Filtros de terceira ordem ou mais possuem uma definição similar. No geral, a taxa final de atenuação de um filtro de n-ordem é −6n dB por oitava. 

 Respostas em frequência de filtros Butterworth de diversas ordens<file:///C:/TEMP/msohtml1/01/clip_image025.jpg> 

<http://pt.wikipedia.org/wiki/Imagem:Butterworth_orders.png> 

Respostas em frequência de filtros Butterworth de diversas ordens

Em qualquer filtro Butterworth, se a linha horizontal se extende para a direita e a linha diagonal para a esquerda supeior (a asintota da função), eles terão uma intersecção exatamente na "frequência de corte". A resposta na frequência de corte de um filtro de primeira ordem é de −3 dB com relação à linha horizontal. Os vários tipos de filtros, filtro Butterworth, filtro Chebyshev e outros, possuem "curvas de cotovelo" diferentes. Muitos filtros de segunda ordem são projetados para possuir "pico" ou ressonância, fazendo com que sua resposta em frequência na frequência de corte seja "acima" da linha horizontal. Veja filtro eletrônico para ver os outros tipos.

Os significados de 'baixa' e 'alta', como a frequência de corte, dependem das características do filtro. (O termo "filtro passa-baixas" se refere meramente ao formato da resposta do filtro. Um filtro passa-altas pode ser construido de modo a cortar as frequências menores que as de um filtro passa-baixas. São suas respostas que os diferenciam, não a frequência de corte.) Os circuitos eletrônicos podem ser desenvolvidos para qualquer faixa de frequência desejada, podem atingir inclusive a faixa das microondas (acima de 1000 MHz) ou superior.


Implementação através de componentes passivos


 Um filtro passa-baixas passivo demonstrando a impedância dos componentes<file:///C:/TEMP/msohtml1/01/clip_image026.gif> 

Um filtro passa-baixas passivo demonstrando a impedância dos componentes

Um circuito eletrônico simples que funciona como um filtro passa-baixas consiste de um resistor em série com um capacitor em parelelo com a carga. O capacitor exibe reatância, e bloqueia os sinais de baixa frequência, fazendo com que eles passem pela carga. A frequências mais altos a reatância reduz, e o capacitor conduz com facilidade. A frequência de corte é determinada pela escolha da resistência e da capacitância:

 f_\mathrm{c} = {1 \over 2 \pi R C }<file:///C:/TEMP/msohtml1/01/clip_image027.gif> 

ou equivalentemente (em radianos por segundo):

 \omega_\mathrm{c} = \frac{1}{RC}<file:///C:/TEMP/msohtml1/01/clip_image028.gif> 

Um modo de compreender este circuito é se voltar ao tempo que o capacitor leva para se carrega. O capacitor leva um período de tempo para carrega e descarregar através do resistor:

*	A baixas frequências, existe muito tempo para que o capacitor se carrege até atingir praticamente a mesma voltagem que a tensão de entrada. 
*	A altas frequências, o capacitor tem tempo apenas para uma pequenas carga antes que as entradas invertam sua polaridade. A saída sobe e desce apenas uma pequena quantia de tempo com relação às subidas e descidas da entrada. A uma frequência dobrada, existe tempo apenas para que o capacitor se carregue metade do que poderia se carregar antes. 

Outra forma de compreender este circuito é com a idéia de reatância em uma frequência particular:

*	Como a CC não pode passar através do capacitor, a entrada CC deve "passar" pelo caminho marcado Vout (como se o capacitor tivesse sido removido do circuito). 
*	Como a CA flui com facilidade pelo capacitor, a entrada CA "passa" através do capacitor, atuando de forma semelhante a um curto-circuito ao terra (como se o capacitor tivesse sido substituido por um fio). 

Deve-se perceber que o capacitor não é um componente "ligado/desligado" (como a explicação de bloqueio ou passagem acima). O capacitor irá ter uma atuação que varia entre estes dois experimentos, reduzindo a sua impedância com o aumento da frequência. Seu gráfico e sua resposta em frequência mostram esta variação.


Implementação através de componentes ativos


 Um filtro passa-baixas ativo<file:///C:/TEMP/msohtml1/01/clip_image029.gif> 

Um filtro passa-baixas ativo

Outro tipo de circuito eletrônico é o filtro passa-baixas "ativo".

Neste exemplo, a freqüência de corte (em hertz) é definida como:

 f_\mathrm{c} = {1 \over 2 \pi R_2 C }<file:///C:/TEMP/msohtml1/01/clip_image030.gif> 

ou equivalentemente (em radianos por segundo):

 \omega_\mathrm{c} = \frac{1}{R_2 C}<file:///C:/TEMP/msohtml1/01/clip_image031.gif> 

O ganho deste filtro é  \frac{-R_2}{R_1}<file:///C:/TEMP/msohtml1/01/clip_image032.gif> , e o ganho cai em −6 dB por oitava, assim como no filtro de primeira ordem.

Muitas vezes, um ganho simples ou um amplificador de atenuação (Veja amplificador operacional) é transformado em um filtro passa-baixas atevés da adição do capacitor C. Isto reduz a resposta em frequência a altas frequências e ajuda e eliminar oscilações no amplificador. Por exemplo, um amplificador de áudio pode ser montado como um filtro passa-baixas com frequência de corte igual a 100 kHz para reduzir o ganho nas frequências que o fariam oscilar. Como a banda audível vai até cerca de 20 kHz. todas as frequências de interesse estão inclusas na banda passante, e o amplificador atua da mesma forma para os sinais de áudio.


Filtro elíptico


 

 A resposta em frequência de um filtro passa-baixa elíptico de quarta ordem<file:///C:/TEMP/msohtml1/01/clip_image034.jpg> 

<http://pt.wikipedia.org/wiki/Imagem:Cauer_response.png> 

A resposta em frequência de um filtro passa-baixa elíptico de quarta ordem

Um filtro elíptico (também conhecido como filtro de Cauer) é um filtro com ondulações (ripple) na banda passante e na banda rejeitada.

Isto significa que ele minimiza o erro máximo em ambas as banda, ao contrário do filtro Chebyshev, que apresenta ripple apenas na banda passante, ou no caso do Chebyshev inverso, na banda rejeitada.

A magnitude da resposta em frequência de um filtro passa-baixas elíptico é dada por:

 G_n(\omega) = \left | H_n(j \omega) \right | = {1 \over \sqrt{1 + \epsilon^2 R_n^2(\omega)}}<file:///C:/TEMP/msohtml1/01/clip_image035.gif> 

onde Rn é a função racional de Chebyshev da ordem n.


Comparação com outros filtros lineares


Aqui temos uma imagem mostrando a resposta em frequência do filtro elíptico ao lado das respostas de outros tipos comuns de filtros obtidos com o mesmo número de coeficientes:

 <file:///C:/TEMP/msohtml1/01/clip_image037.gif> 

vemos na imagem que o filtro elíptico possui a queda mais acentuada de todo, porém este apresenta ripple em toda a largura de banda.

 


Filtro Chebyshev


 


 A resposta em frequência de um filtro Chebyshev passa-baixas do tipo I de quarta ordem<file:///C:/TEMP/msohtml1/01/clip_image039.jpg> 

<http://pt.wikipedia.org/wiki/Imagem:Chebyshev_response.png> 

A resposta em frequência de um filtro Chebyshev passa-baixas do tipo I de quarta ordem

Filtros Chebyshev 

são filtros analógicos ou digitais que possuem um aumento na atenuação (roll-off) mais íngreme e uma maior ondulação (ripple) na banda passante que os Filtros Butterworth. Os filtros Chebyshev possuem a propriedade de minimizarem o erro entre as características do filtro idealizado e o atual com relação à faixa do filtro, porém com ripples na banda passante. Este tipo de filtro recebeu seu nome em honra a Pafnuty Chebyshev, devido a suas características matemáticas serem derivadas dos polinomiais de Chebyshev.


 


Descrição


Filtros Chebyshev do Tipo I


Estes são o tipo mais comum dos filtros Chebyshev. A sua caracteristica da amplitude em frequência de ordem n pode ser descrita matematicamente como:

 G_n(\omega) = \left | H_n(j \omega) \right | = \frac{1}{\sqrt{1+\epsilon^2 T_n^2\left(\frac{\omega}{\omega_0}\right)}}<file:///C:/TEMP/msohtml1/01/clip_image040.gif> 

aonde | ε | < 1 e  |H(\omega_0)| = \frac{1}{\sqrt{1+\epsilon^2}}<file:///C:/TEMP/msohtml1/01/clip_image041.gif> é a amplificação na frequência de corte ω0 (nota: a definição comum na frequência de corte como a frequência com um ganho de −3 dB não se aplica aos filtros Chebyshev), e  T_n\left(\frac{\omega}{\omega_0}\right)<file:///C:/TEMP/msohtml1/01/clip_image042.gif> é um polinomial de Chebyshev da nésima ordem, como por exemplo:

 T_n\left(\frac{\omega}{\omega_0}\right) = \cos\left(n\cdot\arccos\frac{\omega}{\omega_0}\right) ; 0 \le \omega \le \omega_0<file:///C:/TEMP/msohtml1/01/clip_image043.gif> 

 T_n\left(\frac{\omega}{\omega_0}\right) = \cosh\left(n\cdot \operatorname{arccosh}\frac{\omega}{\omega_0}\right) ; \omega > \omega_0<file:///C:/TEMP/msohtml1/01/clip_image044.gif> 

alternativamente:

 T_n\left(\frac{\omega}{\omega_0}\right) = a_0 + a_1\frac{\omega}{\omega_0} + a_2\left(\frac{\omega}{\omega_0}\right)^2 +\, \cdots\, + a_n\left(\frac{\omega}{\omega_0}\right)^n; 0 \le \omega \le \omega_0<file:///C:/TEMP/msohtml1/01/clip_image045.gif> 

 T_n\left(\frac{\omega}{\omega_0}\right) = \frac{ \left(\frac{\omega}{\omega_0}\sqrt{\left(\frac{\omega}{\omega_0}\right)^2 - 1}\right)^n + \left(\frac{\omega}{\omega_0}\sqrt{\left(\frac{\omega}{\omega_0}\right)^2 - 1}\right)^{-n} }{2} ; \omega > \omega_0<file:///C:/TEMP/msohtml1/01/clip_image046.gif> 

A ordem de um filtro Chebyshev é igual ao número de componentes reativos (como os indutores) necessários para a montagem do filtro utilizando eletrônica analógica.

O ripple é comumente dado em dB:

Ripple em dB =  20 \log_{10} \sqrt{1+\epsilon^2}<file:///C:/TEMP/msohtml1/01/clip_image047.gif> 

Um ripple de 3 dB dessa forma equivale ao valor ε = 1.

Um roll-off ainda mais íngreme pode ser obtido cosso nos permitamos ripple na banda passante, permitindo que o zeros no eixo jω no plano complexo. Isto ira entretanto resulta em uma menor supressão na banda atenuada. O resultado deste processo é o filtro elíptico, também conhecido como filtro Cauer.


Filtros Chebyshev do Tipo II


Também conhecidos como Chebyshev invertidos, este tipo é menos comum pois ele não apresenta um roll off tão acentuado quanto o tipo I, e requer uma maior quantidade de componentes. Ele não possui ripple em sua banda passante, porêm possui ripple na sua banda atenuada. Sua função de transferência é:

 \left | H( \Omega ) \right | ^2 = \frac{1}{\sqrt{1+ \frac{1} {\epsilon^2 T_n ^2 \left ( \omega_0 / \omega \right )}}}<file:///C:/TEMP/msohtml1/01/clip_image048.gif> 

O parâmetros ε é relacionado à atenuação da banda rejeitada γ em decibeis por

 \epsilon = \frac{1}{\sqrt{10^{0.1\gamma}-1}}<file:///C:/TEMP/msohtml1/01/clip_image049.gif> 

Para uma atenuação de banda rejeitada de 5dB, ε = 0.6801; para uma atenuação de 10dB, ε = 0.3333. A frequência fC = ωC/2 π é a frequência de corte. A frequência de 3dB fH é relacionada a fC da seguinte forma:

 f_H = f_C \cosh \left(\frac{1}{n} \cosh^{-1}\frac{1}{\epsilon}\right)<file:///C:/TEMP/msohtml1/01/clip_image050.gif> 


Compararação com outros filtros lineares


Aqui temos uma imagem mostrando a resposta em frequência de filtros Chebyshev junto com a resposta de outros tipos comum de filtro obtidos com os mesmos números de coeficientes:

 <file:///C:/TEMP/msohtml1/01/clip_image037.gif> 

notamos nesta imagem que os filtros Chebyshev possuem uma queda mais acentuada do que o filtro Butterworth, porém menos acentuada do que o filtro elíptico, porém eles apresentam menos ondulações em sua largura de banda.

 


Filtro Butterworth


 


 A resposta em frequência de um filtro Butterworth passa-baixas de primeira ordem<file:///C:/TEMP/msohtml1/01/clip_image052.jpg> 

<http://pt.wikipedia.org/wiki/Imagem:Butterworth_filter_bode_plot.png> 

A resposta em frequência de um filtro Butterworth passa-baixas de primeira ordem

Filtro Butterworth 

é um tipo de projeto de filtros eletrônicos. Ele é desenvolvido de modo a ter uma resposta em frequência o mais plana o quanto for matematicamente possível na banda passante.

Os filtros Butterworth foram descritos primeiramente pelo engenheiro britânico S. Butterworth (cujo primeiro nome acredita-se ser Stephen) em sua publicação "On the Theory of Filter Amplifiers", Wireless Engineer (também chamada de Experimental Wireless and the Radio Engineer), vol. 7, 1930, pp. 536-541.


Visão Geral


 Filtros passa-baixas Butterworth de ordens 1 a 5<file:///C:/TEMP/msohtml1/01/clip_image054.jpg> 

<http://pt.wikipedia.org/wiki/Imagem:Butterworth_orders.png> 

Filtros passa-baixas Butterworth de ordens 1 a 5

A resposta em frequência de um filtro Butterworth é muito plana (não possui ripple, ou ondulações) na banda passante, e se aproxima do zero na banda rejeitada. Quando visto em um gráfico logarítmico, esta resposta desce linearmente até o infinito negativo. Para um filtro de primeira ordem, a resposta varia em −6 dB por oitava (−20 dB por década). (Todos os filtros de primeira ordem, independentemente de seus nomes, são idênticos e possuem a mesma resposta em frequência.) Para um filtro Butterworth de segunda ordem, a resposta em frequência varia em −12 dB por oitava, em um filtro de terceira ordem a variação é de −18 dB, e assim por diante. Os filtros Butterworth possuem uma queda na sua magnitude como uma função linear com ω.

 Exemplo de um filtro passa-baixas Butterworth de segunda ordem<file:///C:/TEMP/msohtml1/01/clip_image056.jpg> 

<http://pt.wikipedia.org/wiki/Imagem:Second_order_low_pass_filter.png> 

Exemplo de um filtro passa-baixas Butterworth de segunda ordem

O Butterworth é o único filtro que mantém o mesmo formato para ordens mais elevadas (porém com uma inclinação mais íngreme na banda atenuada) enquanto outras variedades de filtros (Bessel, Chebyshev, elíptico) possuem formatos diferentes para ordens mais elevadas.

Comparado com um filtro Chebyshev do Tipo I/Tipo II ou com um filtro elíptico, o filtro Butterworth possui uma queda relativamente mais lenta, e portanto irá requerer uma ordem maior para implementar um especificação de banda rejeitada particular. Entretanto, o filtro Butterworth apresentará uma resposta em fase mais linear na banda passante do que os filtros Chebyshev do Tipo I/Tipo II ou elípticos.


Função de transferência


Como em todos os gêneros de filtros, o modelo típico é o filtro passa-baixas, que pode ser modificado para se tornar um filtro passa-altas, ou colocado em série com outros filtros para formar filtros passa-faixa ou rejeita-faixa, e versões de ordem mais elevadas destes.

A magnitude da resposta em frequência de um filtro passa-baixas de ordem n pode ser definida matematicamente como:

 G_n(\omega) = \left | H_n(j \omega) \right | = {1 \over \sqrt{ 1 + (\omega / \omega_\mathrm{c}) ^ {2 n}} }<file:///C:/TEMP/msohtml1/01/clip_image057.gif> 

aonde:

*	G é o ganho do filtro 
*	H é a função de transferência 
*	j é o número imaginário 
*	n é a ordem do filtro 
*	ω é a frequência angular do sinal em radianos por segundo, 
*	ωc é a frequência de corte (frequência com −3 dB de ganho). 

Normalizando a expressão (fazendo a frequência de corte ωc = 1), tem-se:

 G_n(\omega) = \left | H_n(j \omega) \right | = {1 \over \sqrt{ 1 + \omega ^ {2 n}} }<file:///C:/TEMP/msohtml1/01/clip_image058.gif> 


Roll Off de altas frequências


 {{\left | H(j \omega) \right |^2}_{dB}} = {20n}{log_{10}{\omega}}<file:///C:/TEMP/msohtml1/01/clip_image059.gif> 

Desse modo, o roll off para altas frequências = 20n dB/década


Implementação do filtro


 <file:///C:/TEMP/msohtml1/01/clip_image061.jpg> 

Dada uma função de transferência, o filtro Butterworth pode ser implementado utilizando a forma Cauer - 1: O elemento k é dado por:  C_k = 2 sin \left [\frac {(2k-1)}{2n} \pi \right ]<file:///C:/TEMP/msohtml1/01/clip_image062.gif>  L_k = 2 sin \left [\frac {(2k-1)}{2n} \pi \right ]<file:///C:/TEMP/msohtml1/01/clip_image063.gif> 


Polinomiais Butterworth normalizados

n

Fatores de polinomiais Bn(s)

1

(s + 1)

2

s2 + 1.414s + 1

3

(s + 1)(s2 + s + 1)

4

(s2 + 0.7654s + 1)(s2 + 1.8478s + 1)

5

(s + 1)(s2 + 0.6180s + 1)(s2 + 1.6180s + 1)

6

(s2 + 0.5176s + 1)(s2 + 1.414s + 1)(s2 + 1.9318s + 1)

7

(s + 1)(s2 + 0.4450s + 1)(s2 + 1.247s + 1)(s2 + 1.8022s + 1)

8

(s2 + 0.3986s + 1)(s2 + 1.111s + 1)(s2 + 1.6630s + 1)(s2 + 1.9622s + 1)

Grafico de magnitude para um exemplo de filtro Butterworth passa-baixas de segunda ordem <http://pt.wikipedia.org/wiki/Imagem:Butterworth_II_Order_LPF_Bode_Plot.png> 

<http://pt.wikipedia.org/wiki/Imagem:Butterworth_II_Order_LPF_Bode_Plot.png> 

Grafico de magnitude para um exemplo de filtro Butterworth passa-baixas de segunda ordem


Comparação com outros filtros lineares


As imagens abaixo mostram a resposta em frequência do filtro Butterworth junto com outros tipos de filtros comuns obtidos com o mesmo número de coeficientes:

 <file:///C:/TEMP/msohtml1/01/clip_image037.gif> 

Pode-se constatar nessas imagens que o filtro Butterworth é mais plano que os outros e não mostra ondulações (ripple).

 

 
 
Cordiais cumprimentos --- CT2JHU
 

Roland Gomes

Gestor de Projectos/Consultor

OniTelecom/Infra-estruturas Cliente e Gestão de Projecto

 

<http://www.oni.pt/>